题目内容
在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，则AD的长度的最小值为（ ）
A、
| ||||
B、2
| ||||
C、3
| ||||
D、
|
考点：解三角形的实际应用
专题：解三角形
分析：在图（2）中连接DP，由折叠可知AD=PD，根据等边对等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP为三角形ADP的外角，若设∠BAP为θ，则有∠BDP为2θ，再设AD=PD=x，根据正弦定理建立函数关系，根据正弦函数的图象与性质得出正弦函数的最大值，进而得出x的最小值，即为AD的最小值．
解答：
解：显然A，P两点关于折线DE对称，
连接DP，图（2）中，可得AD=PD，则有∠BAP=∠APD，
设∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
再设AD=DP=x，则有DB=10-x，
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
∴∠BPD=120°-2θ，又∠DBP=60°，
在△BDP中，由正弦定理知
=
，
即
=
∴x=
，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴当120°-2θ=90°，即θ=15°时，sin（120°-2θ）=1．
此时x取得最小值
=
•(2-
)=2
-3，且∠ADE=75°．
则AD的最小值为2
-3．
解：显然A，P两点关于折线DE对称，连接DP，图（2）中，可得AD=PD，则有∠BAP=∠APD，
设∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
再设AD=DP=x，则有DB=10-x，
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
∴∠BPD=120°-2θ，又∠DBP=60°，
在△BDP中，由正弦定理知
| BD |
| sinBPD |
| DP |
| sinDBP |
即
| 1-x |
| sin(120°-2θ) |
| x |
| sin60° |
∴x=
| ||
2sin(120°-2θ)+
|
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴当120°-2θ=90°，即θ=15°时，sin（120°-2θ）=1．
此时x取得最小值
| ||
2+
|
| 3 |
| 3 |
| 3 |
则AD的最小值为2
| 3 |
点评：此题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，正弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
函数y=sin（x-
）sin（x+
）的最大值为（ ）
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
A、
| ||||
B、
| ||||
| C、1 | ||||
D、
|
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a1-a4=0，则下列式子中数值不能确定的是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知α∈（
，π），sin（α+
）=
，则sinα=（ ）
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
A、
| ||||||||
B、
| ||||||||
C、-
| ||||||||
D、-
|
某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是（ ）
A、5（
| ||||
B、5（
| ||||
C、10（
| ||||
D、10（
|
已知点Q在椭圆C：
+
=1上，点P满足
=
（
+
）（其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点），则点P的轨迹为（ ）
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 10 |
| OP |
| 1 |
| 2 |
| OF1 |
| OQ |
| A、圆 | B、抛物线 | C、双曲线 | D、椭圆 |
的图象上所有的点向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为