Question

已知点P是以F₁，F₂为焦点的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，若PF₁⊥PF₂，tan∠PF₂F₁=2，则椭圆的离心率e=（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出|PF₂|=

2

3

a，则|PF₁|=

4

3

a，由勾股定理得到

4

9

a2+

16

9

a2=4c²，由此能求出椭圆的离心率．

解答：解：∵点P是以F₁，F₂为焦点的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，
PF₁⊥PF₂，tan∠PF₂F₁=2，
∴

|PF1|

|PF2|

=2，设|PF₂|=x，则|PF₁|=2x，
由椭圆定义知x+2x=2a，∴x=

2a

3

，
∴|PF₂|=

2

3

a，则|PF₁|=

4

3

a，
由勾股定理知|PF₂|²+|PF₁|²=|F₁F₂|²，
∴

4

9

a2+

16

9

a2=4c²，解得c=

5

3

a，
∴e=

c

a

=

5

3

．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．