Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，抛物线y²=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点$（{1，\frac{3}{2}}）$．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．

Answer 1

分析 （I）由题意可知：抛物线y²=4x的焦点（1，0），c=1，将点$（{1，\frac{3}{2}}）$代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程由韦达定理，求得E点坐标，由AE⊥AF，及中点坐标公式求得P坐标及直线AP的方程，当k≠0时，t=$\frac{\frac{1}{k}-k}{4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）+6}$，利用换元法及基本不等式的性质，即可求得直线AP斜率的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：抛物线y²=4x的焦点（1，0）与椭圆C有相同的焦点，即c=1，
a²=b²+c²=b²+1，
由椭圆C过点$（{1，\frac{3}{2}}）$，代入椭圆方程：$\frac{1}{{b}^{2}+1}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
则椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x-2），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0，
由2+x_E=$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，可得x_E=$\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$，y_E=k（x_E-2）=-$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
由于AE⊥AF，只要将上式的k换为-$\frac{1}{k}$，可得x_F=$\frac{8-6{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$，y_F=$\frac{12k}{4+3{k}^{2}}$，
由P为EF的中点，
即有P（$\frac{14{k}^{2}}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}$，$\frac{6k（{k}^{2}-1）}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}$），
则直线AP的斜率为t=$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}-2}$=$\frac{k（1-{k}^{2}）}{4{k}^{4}+4+6{k}^{2}}$，
当k=0时，t=0；当k≠0时，t=$\frac{\frac{1}{k}-k}{4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）+6}$，
再令s=$\frac{1}{k}$-k，可得t=$\frac{s}{4{s}^{2}+14}$，
当s=0时，t=0；当s＞0时，t=$\frac{1}{4s+\frac{14}{s}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{56}}$=$\frac{\sqrt{14}}{56}$，
当且仅当4s=$\frac{14}{s}$时，取得最大值；
综上可得直线AP的斜率的最大值为$\frac{\sqrt{14}}{56}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，换元法及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．