题目内容
（1）已知f（x）=
，用定义法证明：f（x）在（-∞，-2）内单调递增；
（2）设a＞0，f（x）=
+
是R上的偶函数，求实数a的值．
| x |
| x+2 |
（2）设a＞0，f（x）=
| ex |
| a |
| a |
| ex |
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数单调性的定义，利用定义法证明：f（x）在（-∞，-2）内单调递增；
（2）根据函数奇偶性的定义即可得到结论．
（2）根据函数奇偶性的定义即可得到结论．
解答：
（1）证明：x1＜x2＜-2，
则f（x1）-f（x2）=
-
=
=
，
∵x1＜x2＜-2，
∴x1-x2＜0，x1+2＜0，x2+2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数；
（2）解：∵a＞0，f（x）=
+
是R上的偶函数，
∴f（-x）=
+
=f（x），
即
+
=
+
，
即
+aex=
+
，
则（
-a）•
=（
-a）•ex，
即（
-a）（ex-
）=0，
则
-a=0，
即a2=1，解得a=±1，
∵a＞0，
∴a=1．
则f（x1）-f（x2）=
| x1 |
| x1+2 |
| x2 |
| x2+2 |
| x1(x2+2)-x2(x1+2) |
| (x1+2)(x2+1) |
| 2(x1-x2) |
| (x1+2)(x2+2) |
∵x1＜x2＜-2，
∴x1-x2＜0，x1+2＜0，x2+2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数；
（2）解：∵a＞0，f（x）=
| ex |
| a |
| a |
| ex |
∴f（-x）=
| e-x |
| a |
| a |
| e-x |
即
| e-x |
| a |
| a |
| e-x |
| ex |
| a |
| a |
| ex |
即
| 1 |
| aex |
| ex |
| a |
| a |
| ex |
则（
| 1 |
| a |
| 1 |
| ex |
| 1 |
| a |
即（
| 1 |
| a |
| 1 |
| ex |
则
| 1 |
| a |
即a2=1，解得a=±1，
∵a＞0，
∴a=1．
点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的证明和应用，利用定义法是解决本题的关键．
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