Question

6．设S_n为数列{a_n}的前n项和，若$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$（n∈N^*）是非零常数，则称数列{a_n}为“和等比数列”．若数列{c_n}是首项为c₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{c_n}是“和等比数列”，记d=f（c₁），则f（2017）=4034．

Answer 1

分析 运用新定义和等差数列的求和公式，可得n的恒等式，由对应项系数相等，可得k=4，d=2c₁，即有d=f（c₁）=2c₁，代入计算即可得到所求值．

解答 解：若数列{c_n}是首项为c₁，公差为d（d≠0）的等差数列，
且数列{c_n}是“和等比数列”，
可得$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$（n∈N^*）是非零常数，
设$\frac{2n{c}_{1}+\frac{1}{2}•2n（2n-1）d}{n{c}_{1}+\frac{1}{2}n（n-1）d}$=k（k≠0），
即有2nc₁+n（2n-1）d=knc₁+$\frac{1}{2}$kn（n-1）d，
由恒成立思想可得2d=$\frac{1}{2}$kd，2c₁-d=kc₁-$\frac{1}{2}$kd，
由d不为0，可得k=4，d=2c₁，
即有d=f（c₁）=2c₁，
则f（2017）=2×2017=4034．
故答案为：4034．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的求和公式，以及恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．