Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，右焦点F₂到直线l₁：3x+4y=0的距离为

3

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F₂斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′，求证：k•k′为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率等于

1

2

，结合右焦点F₂到直线l₁：3x+4y=0的距离为

3

5

联立方程组求解a，c的值，进一步求得b的值，则椭圆C的方程可求；
（Ⅱ）设过点F₂（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1），和椭圆方程联立后利用根与系数关系求得E，F两点的横坐标的和与积，写出AE和AF的方程，取x=3求得点M和点P的坐标，由两点求斜率公式求得直线PF₂的斜率为k′，代入k•k′整理为定值．

解答： （Ⅰ）解：由题意得e=

c

a

=

1

2

，

|3c|

32+42

=

3c

5

=

3

5

，
∴c=1，a=2，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设过点F₂（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1），
再设点E（x₁，y₁），点F（x₂，y₂），
将直线l方程y=k（x-1）代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，
整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
∵点P在椭圆内，
∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，
且x1+x2=

8k2

4k2+3

x1•x2=

4k2-12

4k2+3

，
直线AE的方程为：y=

y1

x1-2

(x-2)，直线AF的方程为：y=

y2

x2-2

(x-2)．
令x=3，得点M(3，

y1

x1-2

)，N(3，

y2

x2-2

)，
∴点P的坐标(3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

))，
直线PF₂的斜率为k′=

1 2 ( y1 x1-2 + y2 x2-2 )-0

3-1

=

1

4

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)
=

1

4

y2x1+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

，
将x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

代入上式，得：k′=

1

4

•

2k• 4k2-12 4k2+3 -3k• 8k2 4k2+3 +4k

4k2-12 4k2+3 -2 8k2 4k2+3 +4

=-

3

4k

∴k•k'为定值-

3

4

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．