题目内容
已知椭圆Γ：
+
=1（ a＞b＞0）的焦距为2
，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l：y=2x+b（b∈R）与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）求b的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）求b的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）根据椭圆Γ：
+
=1（ a＞b＞0）的焦距为2
，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，求出a，b，即可求椭圆Γ的方程；
（2）直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，即可求b的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（2）直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，即可求b的取值范围．
解答：
解：（1）由已知
，
解得a=2，b=1，
∴椭圆Γ的方程为
+y2=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，可得17x2+16bx+4b2-4=0，
∴△=256b2-16×17（b2-1）＞0，即b2＜17，且x1+x2=-
，x1x2=
∴y1y2=4x1x2+2b（x1+x2）+b2=
．
∵∠AOB为钝角，
∴x1x2+y1y2=
＜0，
∴-2＜b＜2，
∵b=0时，∠AOB为平角，
∴b的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．
|
解得a=2，b=1，
∴椭圆Γ的方程为
| x2 |
| 4 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，可得17x2+16bx+4b2-4=0，
∴△=256b2-16×17（b2-1）＞0，即b2＜17，且x1+x2=-
| 16b |
| 17 |
| 4b2-4 |
| 17 |
∴y1y2=4x1x2+2b（x1+x2）+b2=
| b2-16 |
| 17 |
∵∠AOB为钝角，
∴x1x2+y1y2=
| 5b2-20 |
| 17 |
∴-2＜b＜2，
∵b=0时，∠AOB为平角，
∴b的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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