Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=4处的切线相互平行，求a的值；
（2）试讨论f=f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2x，对任意的x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1和x=4处的切线相互平行，即可求a的值；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得y=f（x）的单调性；
（3）已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max，分类讨论，求最值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx，
∴f′（x）=ax-（2a+1）x+

2

x

（x＞0），
依题意，f′（1）=f′（4），即a-（2a+1）+2=4a-（2a+1）+

1

2

，解得a=

1

2

；
（2）f′（x）=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．
①a≤0时，x＞0，ax-1＜0，在（0，2）上，f′（x）＞0；在（2，+∞）上，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）；
②0＜a＜

1

2

时，

1

a

＞2，在（0，2），（

1

a

，+∞）上，f′（x）＞0；在（2，

1

a

）上，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（0，2），（

1

a

，+∞），单调递减区间是（2，

1

a

）；
③a=

1

2

时，f′（x）=

(x-2)2

2x

，
∴f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
④a＞

1

2

时，0＜

1

a

＜2，在（0，

1

a

），（2，+∞）上，f′（x）＞0；在（

1

a

，2）上，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（0，

1

a

），（2，+∞），单调递减区间是（

1

a

，2）；
（3）由已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max，g（x）_max=0，
由（2）知，①a≤

1

2

时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）_max=f（2）=-2a-2+2ln2，
∴-2a-2+2ln2＜0，可得a＞ln2-1，∴ln2-1＜a≤

1

2

；
②a＞

1

2

时，f（x）的单调递增区间是（0，

1

a

），（2，+∞），单调递减区间是（

1

a

，2），
故f（x）_max=f（

1

a

）=-2-

1

2a

-2lna，
由a＞

1

2

可知lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，2lna＞-2，∴-2=2lna＜0，
∴f（x）_max＜0，
综上所述，a＞ln2-1．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．