Question

已知m=（1，-

3

），n=（sin2x，cos2x），定义函数f（x）=m•n．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，f（

A

2

）=0．
（i）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；
（ii）记g（λ）=|

AB

+λ

AC

|，若|

AB

|=|

AC

|=3，试求g（λ）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（II）由f(

A

2

)=0，代入可得A=

π

3

．
（i）由于acosB+bcosA=csinC，利用正弦定理可化为sinC=sinCsinC．由于sinC≠0，可得C=

π

2

．再利用三角形的内角和定理可得B=π-A-C．
（ii）利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）f(x)=

m

•

n

=sin2x-

3

cos2x=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)=2sin(2x-

π

3

)，由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ解得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z）；
（II）由f(

A

2

)=0，得2sin(A-

π

3

)=0，∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
（i）∵acosB+bcosA=csinC，利用正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，化为sin（A+B）=sinCsinC，即sinC=sinCsinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0．
∴sinC=1，∴C=

π

2

．∴B=π-A-C=

π

6

．（ii）|

AB

+λ

AC

|=

( AB +λ AC )2

=

| AB |2+2λ| AB | | AC |cosA+λ2| AC |2

，又|

AB

|=|

AC

|，A=

π

3

．∴|

AB

+λ

AC

|=

(1+λ+λ2)| AB |2

=3

(λ+ 1 2 )2+ 3 4

，当λ=-

1

2

时，g（λ）取得最小值

3 3

2

．

点评：本题主要考查了平面向量、三角函数恒等变换、三角函数性质及其解三角形等基础知识，考查了计算能力和推理论证能力，考查了函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想方法，属于难题．