Question

（1）在区间[0，4]上随机取出两个整数m，n，求关于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有实数根的概率；
（2）在区间[0，4]上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有实数根的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：（1）由题意，找出满足条件的整数 的个数，利用古典概型的公式求之；
（2）关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有实根的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．

解答： 解：（1）由题意在区间[0，4]上随机取出两个整数m，n，共有：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）25个，其中第一个数表示m的取值，第二个数表示n的取值；
关于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有实数根需要满足n≥4m，即4m≤n，共有基本事件：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，4），共有6个，
所以关于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有实数根的概率为

6

25

；
（2）如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜4，0＜n＜4}（图中矩形所示）．其面积为1．
构成事件“关于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有实根”的区域为
{（m，n）|0＜m＜4，0＜n＜4，n≥4m}（如图阴影所示），
所以所求的概率为

1 2 ×1×4

4×4

=

1

8

．

点评：本题考查了几何概型的求法；解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/N求解．