Question

已知三条直线2x-y-3=0，4x-3y-5=0和ax+y-3a+1=0相交于同一点P．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）求过点（-2，3）且与点P的距离为2

5

的直线方程．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式,两条直线的交点坐标

专题：直线与圆

分析：（1）联立

2x-y-3=0 4x-3y-5=0

，解得点P（2，1）．将P的坐标（2，1）代入直线ax+y-3a+1=0中，解得a即可．
（2）设所求直线为l，当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=-2；不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y-3=k（x+2），利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：（1）联立

2x-y-3=0 4x-3y-5=0

，解得

x=2 y=1

，
∴点P（2，1）．
将P的坐标（2，1）代入直线ax+y-3a+1=0中，可得2a+1-3a+1=0，解得a=2．
（2）设所求直线为l，当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=-2，
此时点P与直线l的距离为4，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
则l的方程为y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
因此点P到直线l的距离d=

|2k-1+2k+3|

k2+1

=2

5

，
解方程可得k=2．
所以直线l的方程为2x-y+7=0．

点评：本题考查了直线的交点、点到直线的距离公式、点斜式，考查了分类讨论思想方法，属于基础题．