Question

    已知椭圆（）的左，右焦点分别为，上顶点为．为抛物线的焦点，且，0．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于两点（在之间），设直线

的斜率为（），在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，，所以． 

在中，为线段的中点，

故，所以．

    于是椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设（），

，取的中点为．

假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，则．

，

，又，所以．             

因为，所以，．

因为，所以，即，

整理得．                 

因为时，，，所以．