题目内容
如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE•BF=BC•BD．考点：相似三角形的判定
专题：立体几何
分析：证法一：做出辅助线，根据两条线平行，同位角相等，得到两个角相等，在根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到两个三角形相似，得到对应边成比例．
证法二：做出辅助线，根据直径所对的圆周角是一个直角，根据射影定理得到AB2=BC•BD，AB2=BE•BF，根据等量代换得到结论．
证法二：做出辅助线，根据直径所对的圆周角是一个直角，根据射影定理得到AB2=BC•BD，AB2=BE•BF，根据等量代换得到结论．
解答：
证明：证法一：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF，
∴
=
，
即BE•BF=BC•BD
证法二：连续AC、AE，
∵AB是直径，AC是切线
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF
由射线定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF
∴BE•BF=BC•BD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF，
∴
| BC |
| BF |
| BE |
| BD |
即BE•BF=BC•BD
证法二：连续AC、AE，
∵AB是直径，AC是切线
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF
由射线定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF
∴BE•BF=BC•BD
点评：本题考查平面几何的有关证明，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清要证明的四条线段之间的位置关系，得到结论．
练习册系列答案
相关题目
设z是非零复数，
是z的共轭复数，则“z+
=0“是“z为纯虚数”的（ ）
. |
| z |
. |
| z |
| A、充分非必要条件 |
| B、必要非充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既非充分条件又非必要条件 |
分别在区间[1，5]、[1，4]内各任取一个实数依次为m，n，则m＞n的概率是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数g（x）=
的图象在（-12，12）内交点的个数为（ ）
|
| A、18 | B、20 | C、21 | D、22 |
函数f（x）=2x-|x2-1|-1的零点个数是（ ）
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
设离心率为e的双曲线C：
-
=1，（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k．若直线l与双曲线左、右支都有交点，则（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、e2-k2＞1 |
| B、k2-e2＜1 |
| C、k2-e2＞1 |
| D、e2-k2＜1 |