Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）已知不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得f（-x）+f（x）=0恒成立，故可得a=2，b=1或a=-2，b=-1，注意检验；
（2）由（1）可求得f（x）=

1

2

1-2x

2x+1

，利用定义证明即可；
（3）借助函数的性质化不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0为log_m

3

4

＜1，从而解得．

解答： 解：（1）由题意，
f（-x）+f（x）=

-2-x+b

2-x+1+a

+

-2x+b

2x+1+a

=0，
即（2^-x+1+a）（-2^x+b）+（-2^-x+b）（2^x+1+a）=0；
整理可得，
-2+2b2^-x-a2^x+ab-2+2b2^x-a2^-x+ab=0；
故

ab-2=0 2b-a=0

，
解得，a=2，b=1或a=-2，b=-1；
当a=-2，b=-1时，定义域不是R，故不成立；
故a=2，b=1；
（2）证明：由（1）知，f（x）=

1

2

1-2x

2x+1

；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

2

•

1-2x1

2x1+1

-

1

2

•

1-2x2

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
故函数f（x）在R上是减函数；
（3）∵f（x）=

1

2

1-2x

2x+1

是R上的奇函数，
∴f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0可化为f（log_m

3

4

）＞f（1）；
又∵函数f（x）在R上是减函数；
故log_m

3

4

＜1；
①当m＞1时，成立；
②当0＜m＜1时，

3

4

＞m；
故0＜m＜

3

4

；
综上所述，m＞1或0＜m＜

3

4

．

点评：本题考查了函数的性质的判断与证明，同时考查了恒成立问题，属于中档题．