Question

7．定义：以原双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线为原双曲线的共轭双曲线，已知双曲线$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$的共轭双曲线为C，过点A（4，4）能做m条直线与C只有一个公共点，设这m条直线与双曲线C的渐近线围成的区域为G，如果点P、Q在区域G内（包括边界）则$|{\overrightarrow{PQ}}|$的最大值为（　　）

• A． 10
• B． $4\sqrt{10}$
• C． 17
• D． $2\sqrt{17}$

Answer 1

分析 求出共轭双曲线方程，判断A的位置关系，求出m，画出图形，判断PQ的位置，求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$的共轭双曲线为C为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，画出双曲线图形，可知A在双曲线内部，与双曲线只有一点公共点，则m=2，
区域G如图：显然当PQ分别与区域的EF重合时，则$|{\overrightarrow{PQ}}|$取得最大值．双曲线的渐近线方程为：y=±2x，则EA的方程为：y-4=-2（x-4），AF的方程为：y-4=2（x-4）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{2x+y-12=0}\end{array}\right.$可得E（3，6）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$可得F（1，-2）．
则$|{\overrightarrow{PQ}}|$的最大值为：$\sqrt{（3-1）^{2}+（6+2）^{2}}$=2$\sqrt{17}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及线性规划，考查转化思想以及计算能力．