Question

已知函数f（x）=

1

2

+lnx，g（x）=

1

2

x²．
（1）若直线l与f（x）与g（x）都相切，求l的方程；
（2）若对任意x₁＞x₂＞0，不等式t[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用点P在函数f（x）以及g（x）的图象上且在点P的导数相等，即可求出；
（2）先构造函数h（x）=tg（x）-xf（x）=

1

2

tx²-

1

2

x-xlnx，根据其单调性求其导数，然后分离变量，进而求解．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

，g′（x）=x
∴f′（x）=g′（x），可得x=1，
∵f（1）=g（1）=

1

2

，
∴l的方程是2x-y-1=0
（II）若x₁＞x₂＞0，总有t[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，
即若x₁＞x₂＞0，总有tg（x₁）-x₁f（x₁）＞tg（x₂）-x₂f（x₂）成立，
即函数h（x）=tg（x）-xf（x）=

1

2

tx²-

1

2

x-xlnx，在（0，+∞）上为增函数，
即h′（x）=tx-lnx-

3

2

≥0在（0，+∞）上恒成立
即t≥

lnx+ 3 2

x

在（0，+∞）上恒成立
设G（x）=

lnx+ 3 2

x

，则G′（x）=

-( 1 2 +lnx)

x2

∴G（x）在（0，

1

e

）上为增函数，在（

1

e

，+∞）上为减函数，
∴G（x）≤G（

1

e

）=

e

∴t≥

e

．

点评：本题考查了函数的导数综合应用问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性以及求函数的最值，求函数在某一点处的切线方程，是综合题．