Question

14．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{1}{2}$，倾斜角为$\frac{π}{4}$的动直线l与椭圆E交于M，N两点，则当△FMN的周长的取得最大值8时，直线l的方程为（　　）

• A． x-y-1=0
• B． x-y=0
• C． x-y-$\sqrt{3}$=0
• D． x-y-2=0

Answer 1

分析 首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出a值，得到椭圆右焦点坐标，则直线方程可求．

解答 解：如图，
设右焦点为A，一动直线与椭圆交于M、N两点，
则：△FMN周长l=MN+MF+NF=MN+2a-MA+2a-NA=4a+（MN-MA-NA）．
由于MA+NA≥MN，
∴当M，A，N三点共线时，△FMN的周长取得最大值4a=8，则a=2，
又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1，则A（1，0），
∴直线l的方程为y=1×（x-1），即x-y-1=0．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的灵活运用，考查数学转化思想方法，是中档题．