Question

4．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA_l，A₁B₁上，且AE=$\frac{1}{2}$，A₁F=$\frac{3}{4}$，CE⊥EF，M为AB中点
（ I）证明：EF⊥平面CME；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出Rt△EAM∽Rt△FA₁E，从而EF⊥ME，又EF⊥CE，由此能证明EF⊥平面CEM．
（Ⅱ）设线段A₁B₁中点为N，连结MN，推导出MC，MA，MN两两垂直，建空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）在正方形ABB₁A₁中，A₁E=$\frac{3}{2}$，AM=1，
在Rt△EAM和Rt△FA₁E中，$\frac{AE}{{A}_{1}F}=\frac{AM}{{A}_{1}E}=\frac{3}{2}$，
又∠EAM=∠FA₁E=$\frac{π}{2}$，∴Rt△EAM∽Rt△FA₁E，
∴∠AEM=∠A₁FE，∴EF⊥EM，
又EF⊥CE，ME∩CE=E，∴EF⊥平面CEM．
解：（Ⅱ）在等腰三角形△CAB中，
∵CA⊥CB，AB=2，∴CA=CB=$\sqrt{2}$，且CM=1，
设线段A₁B₁中点为N，连结MN，由（Ⅰ）可证CM⊥平面ABB₁A₁，
∴MC，MA，MN两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（1，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），F（0，$\frac{1}{4}$，2），A（0，1，0），C₁（1，0，2），
$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（0，-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，-1，2），
设平面CEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-x+y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（5，4，2），
设直线AC₁与平面CEF所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{30}}{18}$，
∴直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{18}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．