Question

如图，已知圆E：（x+

3

）²+y²=16，点F（

3

，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，可得动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）分类讨论，当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为y=kx，与椭圆方程联立，求出A的坐标，同理可得点C的坐标，进而表示出△ABC的面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，
故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．（2分）
设其方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可知a=2，c=

a2-b2

=

3

，则b=1，（3分）
所以点Q的轨迹Γ的方程为为

x2

4

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）存在最小值．（5分）
（ⅰ）当AB为长轴（或短轴）时，可知点C就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），
则S△ABC=

1

2

×|OC|×|AB|=ab=2．（6分）
（ⅱ）当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为y=kx，设点A（x_A，y_A），
联立方程组

x2 4 +y2=1 y=kx

消去y得

x

2 A

=

4

1+4k2

，

y

2 A

=

4k2

1+4k2

，
由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，可知直线OC的方程为y=-

1

k

x，
同理可得点C的坐标满足

x

2 C

=

4k2

k2+4

，

y

2 C

=

4

k2+4

，则|OA|2=

4

1+4k2

+

4k2

1+4k2

=

4(1+k2)

1+4k2

，|OC|2=

4k2

k2+4

+

4

k2+4

=

4(1+k2)

k2+4

，（8分）
则S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=

4(1+k2)

(1+4k2)(k2+4)

．（9分）
由于

(1+4k2)(k2+4)

≤

5(1+k2)

2

，
所以S△ABC=2S△OAC≥

4(1+k2)

5(1+k2) 2

=

8

5

，当且仅当1+4k²=k²+4，即k²=1时取等号．
综合（ⅰ）（ⅱ），当k²=1时，△ABC的面积取最小值

8

5

，（11分）
此时

x

2 C

=

4k2

k2+4

=

4

5

，

y

2 C

=

4

k2+4

=

4

5

，即xC=±

2 5

5

，yC=±

2 5

5

，
所以点C的坐标为(

2 5

5

，

2 5

5

)，(

2 5

5

，-

2 5

5

)，(-

2 5

5

，

2 5

5

)，(-

2 5

5

，-

2 5

5

)．（13分）

点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．