Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n-a_n-1=（2-n）•2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）设c_n=a_n-2ⁿ，求c_n；
（2）记n×（n-1）×…×2×1=n!，求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由条件，利用累加法求出得a_n的通项公式，由此可求数列{c_n}的通项公式；
（2）易得na_n=n•n•（n-1）•…•2•1+n2ⁿ=（n+1）!-n!+n•2ⁿ，从而S_n=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ），同乘公比，错位相减可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=3，a_n-a_n-1=（2-n）•2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴a₂-a₁=0•2¹，a₃-a₂=-1•2²，a₄-a₃=-2•2³，…a_n-a_n-1=（2-n）•2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
两边同时相加得a_n-a₁=0•2¹-1•2²-2•2³，…-（2-n）•2^n-1．
设b_n=0•2¹-1•2²-2•2³，…-（2-n）•2^n-1．
则2b_n=0•2²-1•2³-2•2⁴，…-（2-n）•2ⁿ．
两式相减得b_n=0•2¹+2²+2³+…+2^n-1-（2-n）•2ⁿ=1+

4(1-2n-2)

1-2

-（2-n）•2ⁿ=1+2ⁿ-4-（2-n）•2ⁿ=（n-1）•2ⁿ-3，
∴a_n-a₁=（n-1）•2ⁿ-3，
即a_n=（n-1）•2ⁿ，
∵c_n=a_n-2ⁿ，
∴c_n=a_n-2ⁿ=（n-1）•2ⁿ-2ⁿ=（n-2）•2ⁿ，
（Ⅱ）a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（a_n-1-2^n-1），令c_n=a_n-2ⁿ，则c_n=nc_n-1．
而c₁=1，
∴c_n=n（n-1）•…•2•1•c₁=n（n-1）•…•2•1．
∴a_n=n（n-1）•…•2•1+2ⁿ．
na_n=n•n•（n-1）•…•2•1+n2ⁿ=（n+1）!-n!+n•2ⁿ，
∴S_n=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）．
令T_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，①
则2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹．②
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
∴S_n=（n+1）!+（n-1）2n+1+1．

点评：本题以数列递推式为载体，重点考查错位相减法的应用，考查数列的通项及求和问题，掌握通解通法是关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．