题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OF |
| FB |
| AB |
| BF |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知M，N为椭圆C上两动点，且MN的中点H在圆x2+y2=1上，求原点O到直线MN距离的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由已知条件得A（-a，0），B（0，b），F（1，0），由
•
=
•
，推导出b2-a-1=0，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）分类讨论，设点作差，求出MN的方程，可得原点O到直线MN距离，利用基本不等式，即可得出结论．
| OF |
| FB |
| AB |
| BF |
（Ⅱ）分类讨论，设点作差，求出MN的方程，可得原点O到直线MN距离，利用基本不等式，即可得出结论．
解答：
解：（Ⅰ）由题意，A（-a，0），B（0，b），F（1，0），
∵
•
=
•
，
∴b2-a-1=0，
∵b2=a2-1，∴a2-a-2=0，解得a=2，
∴a2=4，b2=3，
∴椭圆E的方程为
+
=1；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），则
+
=1，
+
=1，
作差得
+
=0
①x1=x2时，y1+y2=0，∴H（x0，0），
∵H在圆x2+y2=1上，
∴x0=±1，则原点O到直线MN距离为1；
②x1≠x2时，设直线MN的斜率为k，则
+
=0，
∴3x0+4ky0=0，且x02+y02=1，
∴x02=
，y02=
，
∴x0y0=-
ky02=
设原点O到直线MN距离为d，则
∵MN的方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y-kx0+y0=0，
∴d2=
=1-
，
k=0时，d2=1；
k≠0时，d2=1-
≥1-
=
∵
＜1，
∴d2的最小值为
，即d的最小值为
，此时k=±
，
由①②可知，原点O到直线MN距离的最小值
．
∵
| OF |
| FB |
| AB |
| BF |
∴b2-a-1=0，
∵b2=a2-1，∴a2-a-2=0，解得a=2，
∴a2=4，b2=3，
∴椭圆E的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），则
| x12 |
| 4 |
| y12 |
| 3 |
| x22 |
| 4 |
| y22 |
| 3 |
作差得
| (x1+x2)(x1-x2) |
| 4 |
| (y1+y2)(y1-y2) |
| 3 |
①x1=x2时，y1+y2=0，∴H（x0，0），
∵H在圆x2+y2=1上，
∴x0=±1，则原点O到直线MN距离为1；
②x1≠x2时，设直线MN的斜率为k，则
| 2x0 |
| 4 |
| 2ky0 |
| 3 |
∴3x0+4ky0=0，且x02+y02=1，
∴x02=
| 16k2 |
| 16k2+9 |
| 9 |
| 16k2+9 |
∴x0y0=-
| 4 |
| 3 |
| -12k |
| 16k2+9 |
设原点O到直线MN距离为d，则
∵MN的方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y-kx0+y0=0，
∴d2=
| (y0-kx0)2 |
| k2+1 |
| k2 |
| 16k4+25k2+9 |
k=0时，d2=1；
k≠0时，d2=1-
| 1 | ||
16k2+
|
| 1 |
| 49 |
| 48 |
| 49 |
∵
| 48 |
| 49 |
∴d2的最小值为
| 48 |
| 49 |
4
| ||
| 7 |
| ||
| 2 |
由①②可知，原点O到直线MN距离的最小值
4
| ||
| 7 |
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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| π |
| 6 |
| 3 |
| 8 |
A、-
| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、
|
如图，已知圆E：（x+