Question

已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₃=5，且a₁，a₇，a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等差数列的通项公式,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）通过等差数列以及等比数列的关系，求出首项与公差，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用等差数列的求和公式直接求解a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的首项为a₁，公差为d，由题意，a₇²=a₁a₅，
即（a₁+6d）²=a₁（a₁+4d），又a₃=a₁+2d=5（d≠0），
得a₁=9，d=-2故a_n=-2n+11．

（Ⅱ）令S_n=a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1，由（1）知a_2n-1=-4n+13，
故{a_2n-1}是首项为9，公差为-4的等差数列．
∴S_n=

n

2

(a1+a2n-1)=

n

2

(-4n+22)=-2n²+11n．

点评：本题考查等差数列与等比数列的应用，数列的通项公式的求法以及数列求和，考查计算能力．