题目内容

已知丨z丨=1，λ∈C，求证：丨
z-λ
λz-1
丨=1．
考点：复数求模
专题：数系的扩充和复数
分析：丨z丨=1，λ∈C，可得z
.
z
=1．于是
z-λ
λz-1
•
.
(
z-λ
λz-1
)
=
1+λ
.
λ
-(λ
.
z
+
.
λ
z)
1+λ
.
λ
-(λz+
.
λ
.
z
)
，可得λ
.
z
+
.
λ
z与(λz+
.
λ
.
z
)互为共轭复数，而1+λ
.
λ
为实数，得到分子1+λ
.
λ
-(λ
.
z
+
.
λ
z)与分母1+λ
.
λ
-(λz+
.
λ
.
z
)互为共轭复数，即可证明．
解答： 证明：∵丨z丨=1，λ∈C，
∴z
.
z
=1．
∵
z-λ
λz-1
•
.
(
z-λ
λz-1
)
=
z-λ
λz-1
•
.
z
-
.
λ
.
λ
.
z
-1
=
1+λ
.
λ
-(λ
.
z
+
.
λ
z)
1+λ
.
λ
-(λz+
.
λ
.
z
)
，
∵λ
.
z
+
.
λ
z+(λz+
.
λ
.
z
)=(λ+
.
λ
)(z+
.
z
)为实数，
∴λ
.
z
+
.
λ
z与(λz+
.
λ
.
z
)互为共轭复数，
而1+λ
.
λ
为实数，
因此分子1+λ
.
λ
-(λ
.
z
+
.
λ
z)与分母1+λ
.
λ
-(λz+
.
λ
.
z
)互为共轭复数，
∴丨
z-λ
λz-1
丨=1．
点评：本题考查了化为共轭复数的性质、复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
数列{an}的通项公式an=
n2
n2+1
．
（1）0.98是否为它的项？
（2）判断此数列的增减性．
如图，在四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，顶角D1在底面ABCD内的射影恰好为点C．
（1）求证：AD1⊥BC；
（2）在AB上是否存在点M，使得C1M∥平面ADD1A1？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
设x∈（1，+∞），在函数f（x）=
x
lnx
的图象上，过点P（x，f（x））的切线在y轴上的截距为b，则b的最小值为（　　）
A、e
B、
e
2
C、
e2
2
D、
e2
4
sinα+sin（α+
2π
3
）+sin（α+
4π
3
）=
 
．
若复数
1+ai
2+i
（i为虚数単位）是纯虚数，则实数 a的值为（　　）
A、2
B、-2
C、-
1
2
D、
1
2
下列函数中是偶函数的是（　　）
A、y=sinx
B、y=tanx
C、y=cosx
D、y=cos（x-1）
三角形ABC的边长为2的等边三角形，动点P是三角形ABC所在平面内一点，且
AP
=λ
AB
+μ
AC
，若θ≤λ≤μ≤1，则动点P所在平面区域的面积是（　　）
A、
3
B、2
3
C、2+
3
D、1+
3
已知i是虚数单位，a，b∈R，a+bi=
3+i
1-i
，则a+b等于（　　）
A、-1B、1C、3D、4

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网