Question

如图，在四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，顶角D₁在底面ABCD内的射影恰好为点C．
（1）求证：AD₁⊥BC；
（2）在AB上是否存在点M，使得C₁M∥平面ADD₁A₁？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接D₁C，连接AC，然后证明BC⊥平面AD₁C，即可证明AD₁⊥BC．
（Ⅱ）设M是AB上的点，证明四边形AD₁C₁M为平行四边形，说明点M为AB的中点．得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连接D₁C，则D₁C⊥平面ABCD，
∴D₁C⊥BC
在等腰梯形ABCD中，连接AC
∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面AD₁C
∴AD₁⊥BC…（6分）
（Ⅱ）设M是AB上的点
∵AB∥CD，∴AM∥D₁C₁
因经过AM、D₁C₁的平面与平面ADD₁A₁相交与AD₁，
要是C₁M∥平面ADD₁A₁，则C₁M∥AD₁，
即四边形AD₁C₁M为平行四边形，
此时D1C1=DC=AM=

1

2

AB，即点M为AB的中点．
所以在AB上存在点M，使得C₁M∥平面ADD₁A₁，此时点M为AB的中点．…（12分）

点评：本题考查在与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，存在性问题的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．