Question

3．设p：集合A={x|x²-（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|$\frac{x-3}{x+1}$＜0}．
（I）求集合A；
（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，讨论a的取值范围进行求解即可．
（Ⅱ）根据逆否命题之间的关系将条件进行转化，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由x²-（3a+1）x+2a（a+1）＜0得（x-2a）[x-（a+1）]＜0，
①若2a＜a+1，即a＜1时，2a＜x＜a+1，
此时A=（2a，a+1），
②若2a=a+1，即a=1时，不等式无解，
此时A=∅，
③若2a＞a+1，即a＞1时，a+1＜x＜2a，
此时A=（a+1，2a）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＜1时，A=（2a，a+1），
B={x|$\frac{x-3}{x+1}$＜0}={x|-1＜x＜3}=（-1，3），
若￢q是￢p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件，
即A?B，
则$\left\{\begin{array}{l}{2a≥-1}\\{a+1≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{1}{2}}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
则-$\frac{1}{2}$≤a≤2，
∵a＜1，∴-$\frac{1}{2}$≤a＜1，
则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题主要考查集合的求解，结合一元二次不等式的解法以及充分条件和必要条件的定义进行转化是解决本题的关键．注意要对a进行讨论．