Question

已知函数f（x）=log_ax，（a＞0且a≠1），F（x）=f（1+x）-f（1-x）．
（1）求函数F（x）的定义域；
（2）判断F（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）确定x为何值时，有F（x）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数F（x）的定义域是f（1+x）与f（1-x）的定义域的交集．即

1+x＞0 1-x＞0

，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
（3）由F（x）＞0得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，所以log_a（x+1）＞log_a（1-x），利用对数的单调性，讨论底数a，得到x的范围．

解答： 解：（1）由题得，F（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），
使F（x）解析式有意义的x范围是使不等式组即

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
所以函数F（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）函数f（x）为奇函数，
因为：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，
且F（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-log_a（1+x）+log_a（1-x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）
所以函数f（x）为奇函数．
（3）由F（x）＞0得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，所以log_a（x+1）＞log_a（1-x），
①a＞1时，x+1＞1-x＞0解得0＜x＜1；
②0＜a＜1时，0＜x+1＜1-x解得-1＜x＜0．

点评：本题主要考查函数定义域的求法、函数奇偶性的判断以及对数不等式的解法，属于经常考查的题目．