Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=x+1与椭圆C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意先求出a，由离心率求出c、b，代入椭圆方程即可；
（2）联立直线方程和椭圆方程消去y求出交点A、B的横坐标，代入直线方程求出对应的纵坐标，代入两点间的距离公式求出|AB|．

解答： 解：（1）因为短轴一个端点到右焦点的距离为

3

，则a=

3

，
由e=

c

a

=

6

3

得c=

2

，则b²=a²-c²=1，
所以椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）由

x2 3 +y2=1 y=x+1

消去y得，2x²+3x=0，
解得x₁=0或x₂=-

3

2

，所以y₁=1、y₂=-

1

2

，
所以两个交点为：A（0，1）、B（-

3

2

，-

1

2

），
则 |AB|=

(- 3 2 -0)2+(- 1 2 -1)2

=

3

2

2

．

点评：本题考查椭圆的简单几何性质、标准方程，两点间的距离公式，以及直线与椭圆相交问题，属于中档题．