Question

全国高中数学联合竞赛于每年10月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中加试题有4题，小明参加了今年的竞赛，他能够答对加试的第一，二，三，四题的概率分别为0.5，0.5，0.2，0.2，且答对各题互不影响．则
（1）小明在加试中至少答对3题的概率 
（2）记X为小明在加试题中答对的题的个数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（2）类比（1）可得：P（X=0）=（1-0.5）×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2），P（X=1）=0.5×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2）×2+（1-0.5）×（1-0.5）×0.2×（1-0.2）×2=0.32+0.08，P（X=3）=0.08+0.02=0.1，P（X=4）=0.01．P（X=2）=1-[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]．再利用数学期望的计算公式即可得出．

解答： 解：（1）设小明能够答对加试的第一，二，三，四题分别为事件A_i（i=1，2，3，4）．
则小明在加试中至少答对3题的概率 P（X=3或4）=P(A1A2A3

.

A4

)+P(A1A2

.

A3

A4)+P(A1

.

A2

A3A4)+P(

.

A1

A2A3A4)+P（A₁A₂A₃A₄）
=0.5×0.5×0.2×（1-0.2）×2+0.5×0.2×0.2×（1-0.5）×2+0.5×0.5×0.2×0.2
=0.08+0.02+0.01
=0.11．
（2）类比（1）可得：
P（X=0）=（1-0.5）×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2）=0.16，
P（X=1）=0.5×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2）×2+（1-0.5）×（1-0.5）×0.2×（1-0.2）×2=0.32+0.08=0.4，
P（X=3）=0.08+0.02=0.1，
P（X=4）=0.01．
P（X=2）=1-[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]=1-（0.16+0.4+0.1+0.01）=0.33．
可得随机变量X的分布列：

X	0	1	2	3	4
P（X）	0.16	0.4	0.33	0.1	0.01

∴E（X）=0×0.16+1×0.4+2×0.33+3×0.1+4×0.01
=1.4．

点评：本题考查了互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．