Question

12．已知 $\frac{π}{2}＜α＜β＜\frac{3π}{4}，cos（{α-β}）=\frac{12}{13}，sin（{α+β}）=-\frac{3}{5}$，则sin2α=（　　）

• A． $-\frac{16}{65}$
• B． $\frac{56}{65}$
• C． $\frac{16}{65}$
• D． $-\frac{56}{65}$

Answer 1

分析 比较题设条件与结论，可知应利用角的关系2α=（α+β）+（α-β）求解．

解答 解：∵sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β），
又∵$\frac{π}{2}＜α＜β＜\frac{3π}{4}，cos（{α-β}）=\frac{12}{13}，sin（{α+β}）=-\frac{3}{5}$，
∴-$\frac{π}{4}$＜α-β＜0，π＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，
∴sin（α-β）=-$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2α=（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{12}{13}$-$\frac{4}{5}$×（-$\frac{5}{13}$）=-$\frac{16}{65}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．