Question

20．已知函数y=f（x）在（0，+∞）上可导，且满足（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x）且g（a）=2016，则a=-502.5．

Answer 1

分析 由题意可构造函数F（x）=x²f（x），求出导数，结合条件可得F（x）在（1，+∞）上单调递增，F（x）在（0，1）上单调递减，可得F′（1）=0，可得f′（1）=-4，求出f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），代入计算即可得到所求a的值．

解答 解：构造函数F（x）=x²f（x），
则F′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
由（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）
可知，当x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0，
即F（x）在（1，+∞）上单调递增，
当0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0，
即F（x）在（0，1）上单调递减，
则F′（1）=2f（1）+f′（1）=0，
由f（1）=2，
故f′（1）=-4，
则曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y-2=-4（x-1），
即有g（x）=6-4x，
由g（a）=6-4a=2016，
则a=-502.5．
故答案为：-502.5．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．