Question

是否存在正整数a，使得1ⁿ+3ⁿ+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

(an)n对一切正整数n均成立？若存在，求a的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：设t（x）=e^x-x-1，则t′（x）=e^x-1，从而得到e^x≥x+1，取x=-

i

2n

，用累加法得到得(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+…+(

2n-1

2n

)n＜e-

2n-1

2

+e-

2n-3

2

+…+e-

1

2

＜

e

e-1

．
由此能够推导出存在正整数a=2，使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜•（an）ⁿ．

解答： 解：设t（x）=e^x-x-1，
则t′（x）=e^x-1，令t′（x）=0得：x=0．
在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．
∴t（x）最小值为t（0）=0，故e^x≥x+1，
取x=-

i

2n

，
得1-

i

2n

≤e-

i

2n

，即(

2n-i

2n

)n≤e-

i

2

，
累加得(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+…+(

2n-1

2n

)n＜e-

2n-1

2

+e-

2n-3

2

+…+e-

1

2

=

e- 1 2 (1-e-n)

1-e-1

＜

e

e-1

．
∴1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•（2n）ⁿ，
故存在正整数a=2．使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•（an）ⁿ．

点评：本题考查不等式恒成立问题，探索满足条件的实数的最小值的求法，综合性强，难度大，解答的关键是合理地运算导数性质进行等价转化，是压轴题．