Question

设函数f（x）=1-2a+a²-2acosx-2sin²x．
（1）当a=4时，求f（x）的最大值；
（2）证明：当a∈[-2，2]时，f（x）≥-3．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）化正弦为余弦，然后换元，利用配方法求函数f（x）的最大值；
（2）化正弦为余弦，然后换元，对a分类求出函数的最小值，然后由a的范围求出最小值的最小值，则答案可求．

解答： （1）解：当a=4时，f（x）=1-2a+a²-2acosx-2sin²x=-2sin²x-8cosx+9=2cos²x-8cosx+7，
令cosx=t，t∈[-1，1]，
则y=2t²-8t+7=2（t-2）²-1，
∴当t=-1时，y_max=17；
（2）证明：f（x）=1-2a+a²-2acosx-2sin²x=2cos²x-2acosx+a²-2a-1，
令cosx=t，t∈[-1，1]，
则y=2t²-2at+a²-2a-1，
对称轴方程为t=

a

2

，
当a＜-2时，函数的最小值为2×（-1）²+2a-2a-1=3；
当a＞2时，函数的最小值为2×1²-2a+a²-2a-1=a²-4a+3=（a-2）²-1≥-1；
当-2≤a≤2时，函数的最小值为2•(

a

2

)2-2a•

a

2

+a²-2a-1=

1

2

（a-2）²-3．
∴当a∈[-2，2]时，f（x）≥-2＞-3≥-3．

点评：本题考查了三角函数的值域，考查了利用换元法求二次函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．