Question

15．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足条件：$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，且$\overrightarrow a$与$2\overrightarrow b-\overrightarrow a$互相垂直，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根据两向量垂直，数量积为0，利用数量积的定义列出方程求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$夹角的大小．

解答 解：向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足条件：$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，且$\overrightarrow a$与$2\overrightarrow b-\overrightarrow a$互相垂直，
∴$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$=0，
设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则2×|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|×cosθ-${|\overrightarrow{a}|}^{2}$=2×2×$\sqrt{2}$×cosθ-2²=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了两个向量垂直的性质以及夹角公式的应用问题，属于综合性题目．