Question

10．（1）求以椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{5}=1$的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程
（2）求此双曲线方程的实半轴长，虚半轴长，离心率，渐近线方程．

Answer 1

分析 （1）先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程；
（2）利用双曲线方程，可得性质．

解答 解：（1）椭圆 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{5}=1$的顶点为（-2$\sqrt{2}$，0）和（2$\sqrt{2}$，0），焦点为（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0）．
∴双曲线的焦点坐标是（-2$\sqrt{2}$，0）和（2$\sqrt{2}$，0），顶点为（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0）．
∴双曲线的a=$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{2}$⇒b=$\sqrt{5}$
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（2）此双曲线方程的实半轴长为$\sqrt{3}$，虚半轴长为$\sqrt{5}$，离心率为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，渐近线方程y=±$\frac{\sqrt{15}}{3}$x．

点评 本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．