Question

设集合M_n={S|S=|i₁-i₂|+|i₃-i₄|+…+|i_2n-1-i_2n|，i₁，i₂，…，i_2n为1，2，…，2n的一个排列}，记集合M_n中的元素个数为Card（M_n），例如M₁={1}，Card（M₁）=1；M₂={2，4}，Card（M₂）=2，则（1）M₃=

 

；（2）Card（M_n）=

 

．

Answer 1

考点：集合中元素个数的最值,进行简单的合情推理

专题：集合

分析：根据已知条件可以求出M₃={3，5，7，9}，通过对M₁，M₂，M₃中元素的规律观察，可知M_n的元素是由首项为n，末项为n²，公差为2的等差数列，这样便能求出Card（M_n）．

解答： 解：（1）由题意知：M₃={S|S=|i₁-i₂|+|i₃-i₄|+|i₅-i₆|，i₁，i₂，i₃，i₄，i₅，i₆为1，2，3，4，5，6的一个排列}；
∴S的取值情况是这样的：S=|1-2|+|3-4|+|5-6|=3，|1-3|+|2-4|+|5-6|=5，|1-3|+|2-5|+|4-6|=7，|1-4|+|2-5|+|3-6|=9；
M₃={3，5，7，9}．
（2）通过M₁，M₂，M₃可知：M_n的元素是以n为首项，2为公差的等差数列，并且最后一项是n²，设总共有x项，即有x个元素，则：n²=n+（x-1）•2，∴x=

n2-n

2

+1；
∴Card（M_n）=

n2-n

2

+1．

点评：弄清M_n的元素的构成情况，是求解本题的关键，熟练掌握等差数列的通项公式．