Question

1．已知点A（0，2），抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，$\frac{|FM|}{|MN|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点E（-4，0）的直线l与抛物线C交于两点P，Q，点P关于x轴的对称点为P′，试判断直线P′Q是否恒过一定点，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义，结合三角函数及条件建立方程，求出p，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）由题意知，直线l斜率必不为0，则设直线l的方程为x=my-4，与抛物线方程联立，求出直线方程，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B，则由抛物线的定义知，|MM′|=|MF′|，
又因为$\frac{|FM|}{|MN|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以cos∠NMM′=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
而cos∠OFA=$\frac{|OF|}{|AF|}$=$\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{\frac{{p}^{2}}{4}+4}}$，所以$\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{\frac{{p}^{2}}{4}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解之得p=2，
故抛物线C的方程为：y²=4x．
（Ⅱ）由题意知，直线l斜率必不为0，则设直线l的方程为x=my-4，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），P′（x₁，-y₁） （x₁≠x₂）．
由直线代入抛物线方程，消y整理得y²-4my+16=0，
则△=16m²-64＞0，即|m|＞2．y₁+y₂=4m，y₁y₂=16．
直线P′Q：y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂）=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-4）
所以，直线P′Q恒过定点（4，0）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．