Question

11．下列4个命题，其中正确的命题是②③
①“$|\overrightarrow a|-|\overrightarrow b|\;＜\;|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$”是“$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$不共线”的充要条件；
②已知向量$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$是空间两个向量，若$|\overrightarrow a|\;=3，\;\;|\overrightarrow b|\;=2，\;\;|\overrightarrow a-\overrightarrow b|\;=\sqrt{7}$，则向量$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$的夹角为60°；
③抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是$\frac{4}{3}$；
④与两圆A：（x+5）²+y²=49和圆B：（x-5）²+y²=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$．

Answer 1

分析 ①根据向量模长的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断，
②根据向量模长的公式进行求解即可，
③求函数的导数，利用切线法进行求解，
④利用圆与圆外切的定义以及双曲线的性质进行判断．

解答 解：①若$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$同向共线，则“$|\overrightarrow a|-|\overrightarrow b|\;＜\;|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$”成立，即充分性不成立，故①错误，
②已知向量$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$是空间两个向量，若$|\overrightarrow a|\;=3，\;\;|\overrightarrow b|\;=2，\;\;|\overrightarrow a-\overrightarrow b|\;=\sqrt{7}$，
则平方得|$\overrightarrow{a}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=7，
即9-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4=7，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3}{2×3}=\frac{1}{2}$，
则向量$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$的夹角为60°；故②正确，
③先对y=-x²求导得y′=-2x，令y′=-2x=-$\frac{4}{3}$，易得切点的横坐标为x₀=$\frac{2}{3}$，
即切点P（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{9}$），利用点到直线的距离公式得d=$\frac{|4×\frac{2}{3}+3×（-\frac{4}{9}）-8|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{4}{3}$．
则抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是$\frac{4}{3}$；故③正确，
④解：设所求圆P的半径为R，
∵与圆A：（x+5）²+y²=49和圆B：（x-5）²+y²=1都外切
∴|PA|=R+7，|PB|=R+1；∴|PA|-|PB|=6，
∴由双曲线的定义知，圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的右支，
∴a=3，c=5；∴b=4；圆心P的轨迹方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$=1（x＞0），故④错误，
故答案为：②③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，有一定的难度．