Question

6．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所成角等于$\frac{π}{3}$，则平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$]
• B． [$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$，1]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，1]

Answer 1

分析 由题意求出AB与平面ACD所成角的正弦值和余弦值，然后分类求出平面ACD与平面α所成角的正弦值的最小值与最大值得答案．

解答 解：∵三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，
∴三棱锥A-BCD为正四面体，如图：

设正四面体的棱长为2，取CD中点P，连接AP，BP，
则∠BAP为AB与平面ADC所成角．
AP=BP=$\sqrt{3}$，可得sin$∠BAP=\frac{\sqrt{6}}{3}$，cos∠BAP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
设∠BAP=θ．
当CD与α平行且AB在面ACD外时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最小，
为sin（$\frac{π}{3}-θ$）=sin$\frac{π}{3}cosθ$$-cos\frac{π}{3}sinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{3-\sqrt{6}}{6}$；
当CD与α平行且AB在面ACD内时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最大，
为sin（$\frac{π}{3}+θ$）=sin$\frac{π}{3}cosθ+$cos$\frac{π}{3}sinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{3+\sqrt{6}}{6}$．
∴平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是[$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$]．
故选：A．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．