Question

高考理科总分得640就能上北京大学，已知一名理科学生的语文、英语、理综合得分分别为135分，125分，260分．数学试卷中12个选择题每题5分，且每题答对的概率都是0.9，4个填空题每题4分且每题答对的概率都是0.8，6个大题前五个每题12分，最后一题14分，前两个大题估计能得满分，最后一个大题估计能得2分．已知第三、四、五个大题每题答对的概率都相等，且至少答对一题的概率为0.992．
（1）求这名理科学生数学试卷得分的期望；
（2）这名学生能否考上北京大学？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）数学卷中，先分别求出选择题和空题得分的期望，再求出前两个大题得分，设三，四，五是每题答对的概率为P，则至少答对一题的概率为1-（1-p）³=0.992，从而能求出三，四，五题得分的期望，最后一题得2分，由此能求出数学试卷得分的期望．
（2）求出得总分的期望，由此能判断出是否能考上北京大学．

解答： 解：（1）数学卷中，选择题得分的期望为12×0.9×5=54，…2分
填空题得分的期望为4×0.8×4=12.8，…4分
前两个大题得24分，
设三，四，五是每题答对的概率为P，则至少答对一题的概率为1-（1-p）³=0.992，
解得p=0.8．
∴三，四，五题得分的期望为3×0.8×12=28.8．…7分
最后一题得2分，54+12.8+24+28.8+2=121.2
∴数学试卷得分的期望为121.2（分）．…9分
（2）得总分的期望为135+125+260+121.2=641.2，
∵641.2＞640，∴能考上北京大学．…12分

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．