题目内容
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍，且过点E（
，
），又知一圆的方程为（x-1）2+y2=9
（1）求椭圆的方程；
（2）证明存在不垂直于x轴的直线l与已知圆交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，且满足|
|=|
|，并求|
|的范围．
| 8 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（1）求椭圆的方程；
（2）证明存在不垂直于x轴的直线l与已知圆交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，且满足|
| AC |
| BD |
| AB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设椭圆方程为
+
=1，即x2+4y2=4b2，代入点E（
，
），即可求椭圆的方程；
（2）设直线方程为y=kx+b，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合|
|=|
|，可得xC+xD=xA+xB，即可得出结论．
| x2 |
| 4b2 |
| y2 |
| b2 |
| 8 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（2）设直线方程为y=kx+b，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合|
| AC |
| BD |
解答：
（1）解：由题意，设椭圆方程为
+
=1，即x2+4y2=4b2，
∵椭圆过点E（
，
），
∴
+4•
=4b2，
∴b2=1，
∴椭圆的方程为
+y2=1；
（2）证明：设直线方程为y=kx+b，则
代入椭圆方程可得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，∴xC+xD=-
，
同理xA+xB=
，
∵|
|=|
|，
∴xC-xA=xB-xD，
∴xC+xD=xA+xB，
∴
=-
，
∴4k2+3kb+1=0，
故直线方程y=kx+b满足4k2+3kb+1=0时，存在不垂直于x轴的直线l与已知圆交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，且满足|
|=|
|，
由AB⊥x轴时，可知|
|的范围为（0，1]．
| x2 |
| 4b2 |
| y2 |
| b2 |
∵椭圆过点E（
| 8 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴
| 64 |
| 25 |
| 9 |
| 25 |
∴b2=1，
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
（2）证明：设直线方程为y=kx+b，则
代入椭圆方程可得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，∴xC+xD=-
| 8kb |
| 1+4k2 |
同理xA+xB=
| 2-2kb |
| 1+k2 |
∵|
| AC |
| BD |
∴xC-xA=xB-xD，
∴xC+xD=xA+xB，
∴
| 2-2kb |
| 1+k2 |
| 8kb |
| 1+4k2 |
∴4k2+3kb+1=0，
故直线方程y=kx+b满足4k2+3kb+1=0时，存在不垂直于x轴的直线l与已知圆交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，且满足|
| AC |
| BD |
由AB⊥x轴时，可知|
| AB |
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线椭圆、圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
练习册系列答案
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