Question

已知椭圆C1：

x2

a 2 1

+y2=1(a1＞1)与C2：y2+

x2

a 2 2

=1(0＜a2＜1)的离心率相等．直线l：y=m（0＜m＜1）与曲线C₁交于A，D两点（A在D的左侧），与曲线C₂交于B，C两点（B在C的左侧），O为坐标原点，N（0，-1）．
（Ⅰ）当m=

3

2

，|AC|=

5

4

时，求椭圆C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若2

ND

•

AD

=|

ND

|•|

AD

|，且△AND和△BOC相似，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a₁a₂=1，

1

2

a1+

1

2

a2=

5

4

，由此求出a₁，a₂，由此能求出C₁，C₂的方程．
（Ⅱ）将y=m代入曲线C₁，将y=m代入曲线C₂，能推导出∠ADN=

π

3

，根据椭圆的对称性得到ND=NA，OB=OC，由此能求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵C₁，C₂的离心率相等，
∴

a12-1

a1

=

1-a22

，∴a₁a₂=1，…（2分）
∵m=

3

2

，将y=

3

2

分别代入曲线C₁，C₂方程，
由

x2

a12

+

3

4

=1⇒xA=-

1

2

a1，
由

3

4

+

x2

a22

=1⇒xC=

1

2

a2．
∴当m=

3

2

时，A(-

a1

2

，

3

2

)，C(

a2

2

，

3

2

)．
又∵|AC|=

5

4

，∴

1

2

a1+

1

2

a2=

5

4

．
由

1 2 a1+ 1 2 a2= 5 4 a1a2=1

，解得

a1=2 a2= 1 2

．
∴C₁，C₂的方程分别为

x2

4

+y2=1，4x²+y²=1． …（5分）
（Ⅱ）将y=m代入曲线C₁：

x2

a12

+y2=1，得xA=-a1

1-m2

，xD=a1

1-m2

，
将y=m代入曲线C₂：y2+

x2

a22

=1，得xB=-a2

1-m2

，xC=a2

1-m2

由于a₁a₂=1，
∴A(-a1

1-m2

，m)，D(a1

1-m2

，m)，
B(-

1

a1

1-m2

，m)，C(

1

a1

1-m2

，m)．
∵2

ND

•

AD

=|

ND

|•|

AD

|，
∴cos∠ADN=cos＜

ND

，

AD

＞=

ND • AD

| ND |•| AD |

=

1

2

，
∴∠ADN=

π

3

…（8分）
根据椭圆的对称性知：ND=NA，OB=OC，
又△AND和△BOC相似，
∴∠ADN=∠BCO=

π

3

，
∴tan∠ADN=tan∠BCO=

3

，
∴

m+1

a1 1-m2

=

m

1 a1 1-m2

=

3

，
由

m+1

a1 1-m2

=

m

1 a1 1-m2

，化简得：a12=

m+1

m

，
代入

(m+1)2

a12(1-m2)

=3，得m=

3

4

．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆与直线的位置关系中参数的求法，解题时要合理运用直线与椭圆的位置关系，注意等价转化思想的合理运用．