Question

如图，A、B是椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的两个顶点，它的短轴长为1，其一个焦点与短轴的两个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于R、S两点．求四边形ARBS面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件，分别求出b，c，a，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设点R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），联立

y=kx 4x2+y2=1

，得（k²+4）x²-1=0，由S_{四边形ARBS}=S_△RBS+S_△RAS，利用韦达定理和均值定理能求出四边形ARBS面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A、B是椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的两个顶点，
它的短轴长为1，其一个焦点与短轴的两个端点构成正三角形，
∴b=

1

2

，c=1•sin60°=

3

2

，∴a=1，
∴椭圆方程为

x2

1 4

+y2=0．
（Ⅱ）设点R为（x₁，y₁），点S为（x₂，y₂），直线y=kx与曲线4x²+y²=1联立得
（kx）²+4x²=1，
即（k²+4）x²-1=0，
设点R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
联立

y=kx 4x2+y2=1

，得（kx）²+4x²=1，即（k²+4）x²-1=0，
∴x₁+x₂=0，x1x2=-

1

k2+4

，
由题意知S_{四边形ARBS}=S_△RBS+S_△RAS
=

1

4

(2+k)|x1-x2|
=

1

4

（2+k）

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

4

(2+k)2•4 k2+4

=

1

2

4+4k+k2 k2+4

=

1

2

1+ 4 k+ 4 k

≤

1

2

1+ 4 2 k• 4 k

=

2

2

．
当且仅当k=

4

k

（k＞0），即k=2时，取“=”号，
∴四边形ARBS面积的最大值为

2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．