Question

17．给出四个命题：
（1）$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值为2；      （2）2-3x-$\frac{4}{x}$的最大值为2-4$\sqrt{3}$；
（3）log_x10+lgx的最小值为2；   （4）sin²x+$\frac{4}{si{n}^{2}x}$的最小值为4．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 （1）（2）（3）利用基本不等式的性质即可判断出结论．（4）换元利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2，x=0时取等号，即最小值为2，正确；
（2）x→-∞时，2-3x-$\frac{4}{x}$→+∞，无最大值，不正确；
（3）取x=$\frac{1}{2}$，log_x10+lgx＜0，因此最小值不为2不正确；
（4）令sin²x=t∈（0，1]，sin²x+$\frac{4}{si{n}^{2}x}$=t+$\frac{4}{t}$=f（t），f′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$＜0，
因此函数f（t）在t∈（0，1]上单调递减，f（t）的最小值为f（1）=5．因此不正确．
其中真命题的个数是1．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．