Question

对向量

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂）定义一种运算“⊕”：a?b=（a₁，a₂）⊕（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂），已知动点P，Q分别在曲线y=sinx和y=f（x）上运动，且

OQ

=m⊕

Op

+m（其中O为坐标原点），若向量

m

=（

1

2

，3），

n

=（

π

6

，0），则y=f（x）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理,平面向量数量积的运算

专题：新定义,平面向量及应用,推理和证明

分析：可设P（s，t），Q（x，y），则t=sins，由条件可得，（x，y）=（

1

2

s，3t）+（

π

6

，0），x=

1

2

s+

π

6

，且y=3t，即有s=2（x-

π

6

），且t=

y

3

，即y=f（x）=3sin（2x-

π

3

）．由正弦函数的最大值，即可得到答案．

解答： 解：由于动点P，Q分别在曲线y=sinx和y=f（x）上运动，
可设P（s，t），Q（x，y），则t=sins，
由于

OQ

=

m

⊕

Op

+

n

（其中O为坐标原点），向量

m

=（

1

2

，3），

n

=（

π

6

，0），
则由新定义可得，（x，y）=（

1

2

s，3t）+（

π

6

，0）
则有x=

1

2

s+

π

6

，且y=3t，即有s=2（x-

π

6

），且t=

y

3

，
即y=f（x）=3sin（2x-

π

3

）．
由于x∈R，则f（x）的最大值为3．
故答案为：3．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查三角函数的最值，以及平面向量的运算，属于中档题．