Question

13．已知△ABC的三个内角；A，B，C所对边分别为；a，b，c，若b²+c²＜a²，且cos2A-3sinA+1=0，则sin（C-A）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2A-B）的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$]
• C． [0，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$]
• D． （-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由题意，利用二倍角公式将cos2A-3sinA+1=0化成关于sinA的一元二次方程，解出sinA的值，利用cosA＜0求出A的取值；将A的值和B=π-A-C代入并化简，可以得到关于C的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．

解答 解：因为cos2A-3sinA+1=0，
所以1-2sin²A-3sinA+1=0，
所以sinA=$\frac{1}{2}$或-2（舍），
又因为cosA＜0，
所以A=$\frac{5}{6}$π，
所以sin（C-A）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2A-B）
=sin（C-$\frac{5π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos[2×-（π-$\frac{5π}{6}$-C）]
=sin（C-$\frac{5}{6}π$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC
=-$\frac{1}{2}$cosC，
又因为C∈（0，$\frac{π}{6}$），
所以cosC∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
所以-$\frac{1}{2}$cosC∈（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）
故选：A

点评 本题考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．