Question

8．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为F₁（$\sqrt{5}$，0）、F₂（-$\sqrt{5}$，0），则P在双曲线上且PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面积为1，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

Answer 1

分析 利用△PF₁F₂的面积为1，PF₁⊥PF₂，可得|PF₁|•|PF₂|=2，利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求双曲线的方程．

解答 解：由题意，c=$\sqrt{5}$，
因为△PF₁F₂的面积为1，PF₁⊥PF₂，
所以|PF₁|•|PF₂|=2，
又|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=20，
从而（|PF₁|-|PF₂|）²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=20-4=16，即4a²=16，a=2，
所以b²=c²-a²=5-4=1，
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．