Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{3}$+y²=1，已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

Answer 1

分析 把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E点，则CE⊥DE，将它们联立消去x₁，x₂即可得出k的值．

解答 解：假若存在这样的k值，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+3{y^2}-3=0\end{array}\right.$得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{12k}{{1+3{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{9}{{1+3{k^2}}}\end{array}\right.$②
而${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4$．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则$\frac{y_1}{{{x_1}+1}}•\frac{y_2}{{{x_2}+1}}=-1$，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0．
∴（k²+1）x₁x₂+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0．　　　　　　　　　　　　　　　③
将②式代入③整理解得$k=\frac{7}{6}$．经验证，$k=\frac{7}{6}$，使①成立．
综上可知，存在$k=\frac{7}{6}$，使得以CD为直径的圆过点E．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．