Question

18．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，g（x）=f²（x）-af（x）+2a有四个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，则[2-f（x₁）]•[2-f（x₂）]•[2-f（x₃）]•[2-f（x₄）]的值为16．

Answer 1

分析 令t=f（x），由g（x）=f²（x）-af（x）+2a有四个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，则t²-at+2a=0有两个根t₁，t₂，且t₁+t₂=a，t₁t₂=2a，且f（x₁），f（x₂），f（x₃），f（x₄）恰两两相等，为t²-at+2a=0的两根，进而得到答案．

解答 解：∵令t=f（x），则y=g（x）=f²（x）-af（x）+2a=t²-at+2a，
∵g（x）=f²（x）-af（x）+2a有四个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，
故t²-at+2a=0有两个根t₁，t₂，且t₁+t₂=a，t₁t₂=2a，
且f（x₁），f（x₂），f（x₃），f（x₄）恰两两相等，为t²-at+2a=0的两根，
不妨令f（x₁）=f（x₂）=t₁，f（x₃）=f（x₄）=t₂，
则[2-f（x₁）]•[2-f（x₂）]•[2-f（x₃）]•[2-f（x₄）]
=（2-t₁）•（2-t₁）•（2-t₂）•（2-t₂）
=[（2-t₁）•（2-t₂）]²=[4-2（t₁+t₂）+t₁t₂]²=16．
故答案为：16

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，韦达定理的应用，难度中档．