题目内容
10．
如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为$\frac{1}{2}$，则α=（ ）| A． | $\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$ | B． | $\frac{π}{12}$或$\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{12}$ | D． | $\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$ |
分析 由题意可得旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα-sinα，得：（cosα-sinα）2=$\frac{1}{2}$，进而解得cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosα+sinα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，联立解得cosα=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{4}$，利用特殊角的三角函数值即可得解．
解答 
解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，
边长为cosα-sinα，
由题意可得：（cosα-sinα）2=$\frac{1}{2}$，
可得：cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，2sinαcosα=$\frac{1}{2}$
又0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得：cosα+sinα=$\sqrt{1+2sinαcosα}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，②
所以：由①②可得：cosα=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{4}$．
故α=$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$．
故选：A．
点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数的定义在三角函数求值中的应用，考查了数形结合思想，由已知得到旋转后的四条线段所围成的封闭图形是边长为cosα-sinα的正方形是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
10．
如图，某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积为（ ）
如图，某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积为（ ）| A． | $\frac{16}{3}$ | B． | 4 | C． | $\frac{8}{3}$ | D． | $\frac{4}{3}$ |
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2$\sqrt{5}$，c=4，cosA=$\frac{2}{3}$，则b=（ ）
| A． | 2$\sqrt{2}$ | B． | 2$\sqrt{5}$ | C． | 4 | D． | 6 |