Question

19．已知圆C：x²+y²=2，点P为直线$x-y+2\sqrt{2}=0$上任意一点，过点P的直线与圆C交于A，B两点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 经P点坐圆O的切线PD，D为切点，则由切割线定理知：PD²=|PA|•|PB|=OP²-OD²=OP²-2，而由原点到直线$x-y+2\sqrt{2}=0$的距离公式知：OP_min=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|PA|•|PB|的最小值为2．

解答 解：由题意，经P点作圆O的切线PD，D为切点，
则由切割线定理知：PD²=|PA|•|PB|=OP²-OD²=OP²-2，
而由原点到直线$x-y+2\sqrt{2}=0$的距离公式知：OP_min=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|PA|•|PB|的最小值为4-2=2．
故选A．

点评 本题主要考察了直线与圆的位置关系，考察了切割线定理和点到直线距离公式的应用，属于中档题．